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    每个面都是凹多边形的多面体

    昨晚做梦,梦见了一个有趣的数学问题:有没有什么多面体,它的每个面都是凹多边形?有趣的是,接下来我梦见自己醒了过来,然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文,论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展,于是踏上了拜访作者本人的路…… 然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G...

    分类:技术文章 时间:2023-01-22 19:15 我要评论(0个)

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    一些有趣的环面多面体

    环面多面体,即亏格为 1 的多面体,直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近,我在研究一些和环面多面体相关的话题,在这里和大家分享一些我的发现。 ​ 由正多边形构成的环面多面体 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、侧面均为正方形的正棱柱、侧面均为等边三角形的正棱锥、足球或者 C60 所对...

    分类:技术文章 时间:2021-12-13 13:52 我要评论(0个)

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    切完大饼和蛋糕,让我们切一切甜甜圈

    我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼,有一个方形的蛋糕,还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗? 3 刀切一张圆形的大饼,最多能把它分成多少块?或者说,3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域? 4 刀切一个方形的蛋糕,最多能把它分成多少块?或者说,4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域? 3 刀切一个甜甜圈,最多能把它分成多少块?或者说,3 个平面...

    分类:技术文章 时间:2021-09-13 00:05 我要评论(0个)

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    怎样把一个立方体分成 54 个小立方体?

    大家或许都听说过一个与正方形剖分相关的非常经典的问题:对于哪些正整数 n ,我们可以把一个正方形分割成 n 个小正方形(允许出现大小相同的小正方形)?答案是,除了 n = 2, 3, 5 以外,对于其他所有的 n ,把一个正方形分割成 n 个小正方形都是有可能的。对于 n = 1, 4, 6, 7, 8 的情况,分割方案如下图所示: 对于更大的 n 呢?注意到,每次用横竖两条线把一个小正...

    分类:技术文章 时间:2015-09-15 03:40 我要评论(0个)

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    Keller 猜想与 12 维空间中的神构造

    在各种令人惊讶的数学事实当中,我最喜欢的类型之一便是,某个数学命题在二维空间、三维空间甚至四维空间当中都是成立的,但偏偏到了某个维度时,命题就不成立了。 Keller 猜想就是一个这样的例子。 同样大小的正方形平铺整个平面(比如像下图那样),则一定存在某些边与边完全贴合的相邻正方形。 类似地,同样大小的正方体平铺整个空间(比如像下图那样),则一定存在某些面与面完全贴合的相邻正方体。 1...

    分类:技术文章 时间:2015-09-07 19:35 我要评论(0个)

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    IMO2015 平衡的但无中心的点集

    2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ,我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ,我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ,我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ,我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。 证明:对于...

    分类:技术文章 时间:2015-07-20 06:00 我要评论(0个)

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    正方形能被画成什么样?

    房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后,立即拿出纸和笔,把这个金属框的样子画了下来。但是,由于五位画家观察这个金属框的角度不同,它们画出来的结果也互不相同。请问,这五位画家画出来的结果都是对的吗?换句话说,有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图?               首...

    分类:技术文章 时间:2015-06-24 13:40 我要评论(0个)

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    下一根枕木应该画在哪儿?

    一位画家正在画画。画布上是一望无际的平原,一条笔直的铁路向无限远的地方延伸。画家画了铁路上的两根相邻的枕木,它们在画面上呈两条平行的线段,并且都与地平线平行。这时,画家突然犯难了:根据透视的原理,下一根枕木应该画在哪儿呢?你能帮他确定出下一根枕木的位置吗? 这里,我们假设陆地是一个无限大的平面,并且铁路上的相邻枕木之间的间距相等。        ...

    分类:技术文章 时间:2015-05-19 19:45 我要评论(0个)

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    四边形的最长三边之和一定大于两对角线长度之和吗?

    众所周知,三角形当中的任意两边之和始终大于第三边。在四边形中,我们还有类似的结论吗? 2015 年 2 月的 UyHiP 谜题就是:证明或推翻,四边形的三条最长边之和始终大于两条对角线的长度之和。   这个结论是正确的。下面的证明是由 Daniel Bitin 给出的。 首先,让我们先来证明一个引理:若 △ABC 中, ∠C ≥ 90° ,则 AB + CH > AC +...

    分类:技术文章 时间:2015-03-05 18:40 我要评论(0个)

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    能否把长方形分成奇数个全等的非长方形小块?

    1969 年, David Klarner 提出了这样一个问题:能否把一个长方形划分成奇数个全等的小块,并且这些小块不能是小长方形?如果把问题改为偶数个小块,这件事情是很容易做到的,如下图所示。对于奇数个小块的情况,问题显然就没有那么简单了。继续阅读下去之前,你不妨先想一想。                ...

    分类:技术文章 时间:2014-12-26 08:40 我要评论(0个)

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    经典证明:向量叉积的几何意义

    为什么以向量 (a, b) 和 (c, d) 为邻边,构成的平行四边形的面积正好是 ad – bc 呢?下图是一个非常漂亮的无字证明。 这是我在阅读 The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems 一书时受到启发并制作完成的。...

    分类:技术文章 时间:2014-11-29 02:15 我要评论(0个)

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    构造点集使得每条直线上的点都一样多

    我们很容易在平面内放置很多点,使得任意两点确定的直线都只经过这两个点——你需要做的,仅仅是让任意三点都不共线就行了。那么,能否在平面内放置若干个点,使得任意两点确定的直线总是恰好经过三个点呢?更一般地,对于任意正整数 n > 2 ,能否在平面内放置若干个点,使得任意两点确定的直线总是恰好经过 n 个点呢?当然,我们要排除掉所有点都共线这种平凡的情况。 记得我很小的时候就想过这个问题。小时候...

    分类:技术文章 时间:2014-11-27 11:05 我要评论(0个)