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一道错误答案传遍全网的逻辑面试题

2021-12-23 10:45 浏览: 566528 次 我要评论(0 条) 字号:

来自公众号:小K算法


01
故事起源
100个人回答五道题,有81人答对第一题,91人答对第二题,85人答对第三题,79人答对第四题,74人答对第五题。
答对三道题或三道题以上的人算及格,那么在这100人中至少有多少人及格呢?



02
思考小规模,AB两题
先考虑如果只有AB两道题,100个人,第一反应是用集合的方式。
总共也就上面3种情况,其中第一种人数大于100非法,所以只存在后面2种情况。
可以得到如下结论:
  • 同时做对AB两题的最少有72人,最多有81人
  • 同时做错AB两题的最多有9人,最少有0人
看来已经找到了规律,那就按这个思路进一步扩大数据规模,考虑ABC三题。



03
扩大规模,ABC三题
先考虑每两题之间的关系。
再合成三题的关系。等等,好像有点复杂,这不是线性的复杂度,不好意思,小K的智商有点不够用,自闭了。
那小K是不是要准备放弃了呢,NO,never say give up。有时候不要撞倒南墙不回头,基于小K多年的经验,如果找到的规律不明显或者很复杂,一般都说明你走错了,所以这时要考虑切换思维方式。



04
切换思维
上面都是正向思维,但不好处理,可以逆向思维。
只要错3道就不及格,一共有19+9+15+21+26=90道错题,那么90/3=30,则最多有30人不及格,所以最少有70人及格,perfect,收工。

Wait,总感觉有点怪怪的,倒不是因为太简单,而是对于信息量的直觉告诉我,这种解法忽略了很多的信息量。
只用了总数,而没有用到5道题的错题数量分布。那就直接告诉你总共错了90道就行了,为啥还要单独告诉具体的数量,这难道真的只是误导信息吗?



05

极限法思维

根据上面的解法,既然不关心具体分布,那就用极限思维,构造特殊数据。比如所有错题集中在A题。
总共还是错90道,但所有人都做对4题,应该是100人及格,再一次自闭。
这时,我想应该有杠精要跳出来了。
小K:你说的很有道理,我竟无言以对。
先不跟你扯,咱们进一步思考,这个反例说明了一点:错题不能随意均摊,那就从这点下手。



06
错题均摊
先看错误的分布。
如何将这些错题分配给最多的人。为了分析方便,先写一个简单的例子,如错题分布为7、8、9、10、11。
第一种分配:
  • 将A,B,C分配给7人
  • 将C,D,E分配给2人
  • 将B,D,E分配给1人
总共可分配7+2+1=10人。
第二种,优先分配B,C,D,总共11人。
第三种,优先分配C,D,E,总共12人。
到这里我们已经发现了规律,优先分配最大的3道会得到更多的人数。而在分配过程中最大的3道顺序会动态变化,这就启发了贪心的思想。
  • 将错题从大到小排序
  • 每次将最大的前3个分配给一人,然后重新排序
重复上面步骤,直到最后找不出3个不为0的数,也就是变为X,0,0,0,0或者X,Y,0,0,0。



07
抽象
转换问题:有5个矩形,顺序可随意。要切出宽度为3的N个矩形,要求总体叠加要尽量的高,最高有多少?
你品,你细品,这是不是同一个问题呀。所以要从最高的前3个开始一点一点的削它,哈哈。



08
真相浮出水面
回到原题,那到底至少有多少人呢?通过代码测试结果。

8.1
代码实现
int main() {
    int a[5], ans = 0;
    for (int i = 0; i < 5; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a, a + 5, compare);
    while (a[2] > 0) {
        a[0]--;
        a[1]--;
        a[2]--;
        sort(a, a + 5, compare);
        ans++;
        for (int i = 0; i < 5; ++i) {
            cout << a[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "ans=" << ans << endl;

    return 0;
}

8.2
数据测试
25 20 18 15 9 
24 19 17 15 9 
23 18 16 15 9 
22 17 15 15 9 
21 16 15 14 9 
20 15 14 14 9 
19 14 14 13 9 
18 13 13 13 9 
17 13 12 12 9 
16 12 12 11 9 
15 11 11 11 9 
14 11 10 10 9 
13 10 10 9 9 
12 9 9 9 9 
11 9 9 8 8 
10 8 8 8 8 
9 8 8 7 7 
8 7 7 7 7 
7 7 7 6 6 
6 6 6 6 6 
6 6 5 5 5 
5 5 5 5 4 
5 4 4 4 4 
4 4 4 3 3 
3 3 3 3 3 
3 3 2 2 2 
2 2 2 2 1 
2 1 1 1 1 
1 1 1 0 0 
0 0 0 0 0 
ans=30
所以至多30人不及格,则至少70人及格,答案虽然一样,但思维方式却不一样。



09
总结
看似简单的问题,也要多深入思考,说不定你会发现不一样的结论。而且也别轻易相信别人的分析,这个问题网上90%都是错的,大家也可以看一下我的分析是否严谨,如果有问题也请及时反馈给我哈,谢谢啦。



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