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总结数论中不定方程定理证明的细节验证

2023-09-07 10:20 浏览: 798412 次 我要评论(0 条) 字号:

1. 整数r>s>0,(r, s)=1,2∤r+s,x=r^2-s^2, y=2rs, z=r^2+s^2,求证(x, y)=1,(y, z)=1
​证明:由2∤r+s(r与s必一奇一偶)知2∤r-s,故2∤r^2-s^2,以及2∤(r+s)(r+s)。又1=(r, s)=(r+s, r)=(r+s, s)=(r+s, rs)。同理得1=(r, s)=(r-s, rs),故1=((r+s)(r-s), rs)=(r^2-s^2, rs),又1=(2, r^2-s^2),故(r^2-s^2, 2rs)=1,即(x, y)=1。​(y, z)=(2rs, r^2+s^2)=(2rs, r^2+s^2+2rs)=(2rs, (r+s)(r+s))=(rs, (r+s)(r+s))=(rs, r+s)=(r, r+s)=(r, s)=1
​注:用最大公约数定义、整除性质、反证法,也可以得出(x, y)=1,(y, z)=1。本法则直接从最大公约数定理推导

2. u^2+3v^2=2p不可能成立,u、v为整数,p为奇素数
证明:u^2+3v^2=2p => u^2+v^2=2(p-v^2) => ​2|u^2+v^2=(u+v)^2-2uv => 2|(u+v)^2 => 2|u+v。得出这个中间结论,再由它可得4|2(u+v)|2v(u+v)=2v^2+2uv,以及4|(u+v)^2=u^2+v^2+2uv,故得4|u^2+3v^2+4uv,继得4|u^2+3v^2=2p,即2|p,所以矛盾,证毕
​3. 若四个正整数y1*x2=y2*x1,(x1,y1)=(x2,y2)=1,则x1=x2,y1=y2
​证明:由y1*x2=y2*x1可得x1|y1*x2,又因(x1,y1)=1,故x1|x2;另得x2|y2*x1,又因(x2,y2)=1,故x2|x1;终得x1=x2,y1=y2

4. 假设2∤z,z^3=x^2+3y^2有解且满足(x, y)=1,其通解形式为x=a^3-9ab^2,y=3a^2b-3b^2,a、b满足z=a^2+3b^2,求证(-3/p)=1,p是z的任一素因子;(a, 3b)=1
证明:先论证中间结论3∤z,p>3且(p, xy)=1。若3|z,则3|x^2+3y^2=>3|x^2=>3|x=>9|x^2,另有9|x^2+3y^2=>9|3y^2=>3|y^2=>3|y,这与(x, y)=1矛盾,故3∤z。又2∤z,得p>3,由此若p|x,则p|3y^2得p|y,或若p|y,则p|x^2得p|x,都与(x, y)=1矛盾,故(p, xy)=1。
再论证勒让德符号(-3/p)=1。由以上中间结论得等价形式x^2+3y^2=(Z^3p^2)p,及p∤x^2、p∤y^2,推得1=(x^2/p)=(-3y^2/p)=(-3/p)。
最后论证(a, 3b)=1。假设2|z,则2|a^2+b^2=(a+b)^2-2ab或(a-b)^2+2ab =>2|a+b, 2|a-b。因题设是2∤z,故2∤a+b, 2∤a-b,由此推得2∤a^2-b^2, 4∤a^2-b^2,进而8∤a^2-b^2,即(8, a^2-b^2)=1。由1=(x, y)=(a^3-9ab^2, 3a^2b-3b^2)=(a(a^2-9b^2), 3b(a^2-b^2))。又(a^2-9b^2, a^2-b^2)=(8b^2, a^2-b^2)=(b^2, b^2-a^2)=(b^2, a^2)=(a, b)^2,于是令a^2-9b^2=(a, b)^2*A, a^2-b^2=(a, b)^2*B,则得1=(x, y)=(a, b)^2*(aA, 3bB),故(a, 3b)=1

5. 已知2∤u+w,3∤u,(u, w)=1,求证(2u, u^2+3w^2)=1
证明:2∤u+w=>2∤u^2+w^2=>2∤u^2+3w^2,即(2, u^2+3w^2)=1。
由3∤u,(u, w)=1得(u, 3w)=(u, 3w^2)=(u, u^2+3w^2)=1。
综上两式结果得(2u, u^2+3w^2)=1

6. 已知(3v, w)=1,2∤3v+w,求证(18v, 3v^2+w^2)=1
证明:(3v, w)=1=>(3v, w^2)=(3v, 3v^2+w^2)=1。
(3v, w)=1=>(3, w)=1=>(3, w^2)=(3, 3v^2+w^2)=1。2∤3v+w=>2∤v+w=>2∤v^2+w^2=>2∤3v^2+w^2,即(2, 3v^2+w^2)=1。
综上三式结果得(18v, 3v^2+w^2)=1
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从1、5和6问题的证明过程可得,如果一个数由两个或多个因子相乘,那么求证是否互素可以逐一求每个因子与另一个数是否都互素


春秋十二月 2023-09-07 06:43 发表评论


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