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竞技场里的狮子能否保证抓住最高速度相同的小明?

2014-08-30 21:00 浏览: 2915 次 我要评论(0 条) 字号:

小明和狮子同被关在一个半径为 10 米的竞技场里,狮子位于竞技场的圆心处,小明则在距离圆心 1 米的地方。两者的最大运动速度都是每秒 1 米。狮子有没有什么必胜策略,使得不管小明怎么跑,它总能在有限的时间里抓住小明?

根据 MathWorld 相关词条的描述,这个问题是由 R. Rado 在 1925 年时提出的。一个经典的“答案”是,狮子只需要始终保持自己与小明在圆盘的同一半径上即可。直觉上看,由于狮子总是处在“内圈”上,因而不管小明跑到了哪里,狮子总能轻松地与小明继续保持在同一半径上;并且,狮子总有足够的余力向小明靠近,严格减小它与小明之间的距离,除非小明是沿着半径方向径直向外跑。由于竞技场的大小是有限的,小明不可能无限地向外跑,因而狮子最终总会追上小明。但是,后来人们发现,这个解法其实是错误的,原因很简单:能不断靠近小明,不一定就能在有限的时间里抓住小明,正如 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … 永远不会超过 1 一样。最终, A. S. Besicovitch 为小明构造出了一个极其巧妙的策略,使得狮子无论如何都抓不到小明,从而完美地解决了这个问题。不过, MathWorld 的词条里并没有提到这个解法。你能想到这个解法吗?

 

 

 

 

 

 

A. S. Besicovitch 为小明设计的策略如下。游戏开始后,小明首先把接下来的时间分成一小段一小段的,这些时间段的长度依次为 t1, t2, t3, t4, … 。不妨把竞技场的圆心记作 O ,把小明当前的位置记作 M 。每个时间段开始的时候,小明都会看看此时此刻线段 OM 的位置,并且沿着垂直于 OM 的方向,以最高速度往没有狮子的那一侧跑去(如果狮子的位置恰好位于 OM 所在直线上,则向任意一侧跑去)。容易看出,不管在哪个时间段里,狮子都不可能追到小明。如果把第 i 个时段结束后小明与圆心的距离 OM 记作 ri ,那么由勾股定理可知:

ri2 = ri-12 + (ti · 1)2 = ri-12 + ti2

其中 r0 = 1 。

因此,当 t1 + t2 + t3 + … + tn 这么多的时间过去以后,小明与圆心的距离 OM 满足

OM2 = rn2 = 12 + t12 + t22 + t32 + … + tn2

最巧妙的地方来了。令 ti = 1/i ,那么 t1 + t2 + t3 + … 是发散的,但 t12 + t22 + t32 + … 却是收敛的。具体地说:

   t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + …
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + …
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + …
= 1 + 1/2 + (1/4) × 2 + (1/8) × 4 + (1/16) × 8 + …
= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

它显然可以达到任意大。而

   t12 + t22 + t32 + t42 + t52 + …
= 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + …
< 1 + 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5) + …
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + …
= 1 + 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + …
≤ 2

因而 OM2 始终不超过 1 + 2 = 3 , OM 的长度也就始终不超过 √3 ≈ 1.732,这远远小于竞技场的半径(事实上, OM2 的极限是 1 + π2 / 6 ,可以算出 OM 的极限约为 1.63 )。这说明,不管时间过去了多久,小明始终在坚持运动,并且运动路线始终在可活动范围以内。既然每一个时间段里狮子都无法抓到小明,狮子自然也就永远抓不到小明了。

题目和解答最早应该出自 John Littlewood 的 A Mathematician’s Miscellany 一书当中。图片中的小狮子图标来自这里,小明图标则来自这里。题目里的“策略”一词缺乏形式化的描述,这使得本文的内容非常不严谨,同时还会引发很多其他有趣的讨论,感兴趣的读者可以见这里



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