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动态规划算法的思想及实现

2017-02-04 11:15 浏览: 8002 次 我要评论(0 条) 字号:

介绍

动态规划(简称DP)是算法设计思想当中最难也是最有趣的部分了,动态规划适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题,是一种在数学、计算机科学和经济学中经常使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。使用动态规划方法解题有较高的时间效率,关键在于它减少了很多不必要的计算和重复计算的部分

它的思想就是把一个大的问题进行 拆分,细分成一个个小的子问题,且能够从这些小的子问题的解当中推导出原问题的解。同时还需要满足以下两个重要性质才能进行动态规划

  • 最优子结构性: 既所拆分的子问题的解是最优解。

  • 子问题重叠性质: 既在求解的过程当中,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只计算一次,然后将其计算结果保存在一个表格中,当再次需要计算已经计算过的子问题时,只是在表格中简单地查看一下结果,从而获得较高的解题效率

举个栗子

首先先引一道动态规划的经典问题 最长不下降子序列

它的定义是: 设有由n个不相同的整数组成的数列b[n],若有下标$i_1<i_2<···<i_L$ 且 $b[i_1]<b[i_2]<···<b[i_L]$

则称存在一个长度为L的不下降序列。

例如

13,7,9,16,38,24,37,18,44,19,21,22,63,15

那么就有13<16<38<44<63长度为5的不下降子序列。

但是经过观察实际上还有7<9<16<18<19<21<22<63长度为8的不下降子序列,那么是否还有更长的不下降子序列呢?请找出最长的不下降子序列

输入格式

第一行为n,表示n个数(n<=100000),第二行为n个数的数值(数字之间用空格隔开且最后一个数字末尾不能留有空格)

输出格式

一个整数,表示最长不下降子序列的长度。

输入例子

4

1 3 1 2

输出例子

2

思路

假如要求得某一段的最优,就要想更小段的最优怎么求,再看看由最小段的最优能否扩大推广到最大段的最优;

假设这么一个表:

序列下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
序列数值 13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15
序列长度 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
链接位置 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

> 第三行表示该序列元素的所能连接的最长不下降子序列的长度,因为本身长度为1,所以初始值都为1 > 第四行表示链接于哪个序列元素形成最长不下降子序列 先从倒数第二项63算起,在它的后面仅有一项,因此仅作一次比较,因为63>15,所以从63出发,不作任何链接,长度还是为1。 再看倒数第三项22,在它的后面有2项,因此必须要在这2项当中找出比22大,长度又是最长的数值作为链接,由于只有22<63,所以修改22的长度为2,即自身长度加上所链接数值的长度,并修改链接位置为13,也就是63的下标。 再看倒数第四项21,在它的后面有3项,因此必须要在这3项当中找出比21大,长度又是最长的数值作为链接(注意:是长度),很容易看出,数值22满足该条件,因此,修改21的长度为3,并修改链接位置为12,即22的序列下标。 依次类推,最后结果如下表:

序列下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
序列数值 13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15
序列长度 7 8 7 6 3 4 3 5 2 4 3 2 1 1
链接位置 4 3 4 8 9 7 9 10 13 11 12 13 0 0
> 最终状态的转移方程式为: $f(i) = max {f(j)} +1 (b_j<b_i 且 i<j)$.时间复杂度为$O(n^2)$ 代码
process.stdin.setEncoding('utf8');

var arr = [];
var bool = 0;
var n = 0;
var longest = 1;
var a = [];
var dp = [];

process.stdin.on('readable', function() {
var chunk = process.stdin.read();
if (chunk !== null) {
arr.push(chunk.trim())
}

if(bool>=2){
n = arr[0];
process.stdin.emit('end')
}

bool++

});


process.stdin.on('end', function() {

a = arr.slice(1).join(" ").split(" ").map(function(index, elem) {
return parseInt(index);
})

for(let i = 0;i<n;i++){
dp[i] = 1;
}

for(let i = 1;i<n;i++){

for(let j = 0;j<i;j++){
if(a[i]>a[j]){
dp[i] = Math.max(dp[j]+1,dp[i])
}
longest = Math.max(dp[i],longest)
}

}

console.log("最长长度为:"+longest);


process.stdout.write('end');
});


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