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算法面试题:均分纸牌

2022-01-12 10:46 浏览: 1582 次 我要评论(0 条) 字号:

来自公众号:小K算法

01

故事起源

有N堆纸牌编号为1~N,每堆有若干张,但纸牌总数必为N的倍数。可在任一堆上取若干张移动。  

移牌规则:

  • 编号为1的堆上取的纸牌只能移到编号为2的堆上
  • 编号为N的堆上取的纸牌只能移到编号为N-1的堆上
  • 其他堆上取的纸牌可向左右相邻堆移动

问最少要移动几次可使每堆上纸牌一样多?



02
小规模分析

2.1
一堆纸牌

如果只有一堆纸牌,那就不用移动,也就是移动0次。


2.2
两堆纸牌

如果有两堆纸牌,一种情况是两堆已经一样多了,那就不用移动,最少0次。


另一种情况是不一样多,那只需要将多的移动到少的使两堆一样,最少1次。


2.3
三堆纸牌

如果三堆已经一样多,即都为平均数,那就不用移动。


另外的情况就是有一堆为平均数,或者0堆为平均数,当然肯定不可能只有两堆为平均数。

如果为下面这种情况,移动1次可以完成。


如果为下面这种情况,移动2次可以完成。


多列举几种不同的情况,你就会发现,三堆纸牌无论哪种情况,移动次数都在0~2次就可以完成。

那N堆纸牌是不是移动次数也在0~(N-1)次就可以完成呢?继续往下分析。

2.4
小规模总结

根据上面的分析,三堆纸牌移动的次数在0~2。那什么原因导致移动的次数不同呢?  

总结:
  • 0次:3堆都为平均数
  • 1次:第一堆或者第三堆为平均数
  • 2次:其它情况
为1次时,有一堆为平均数不用移动,那这时和两堆也没有区别啊,三堆可以分解成两堆+一堆,到这里小K已经隐约感觉到了有子问题的存在。  


03
分割子问题
想象这种场景,N堆纸牌,从中间某位置分开,左右两边都刚好够分,那么把每一边都看成整体时,一定不会有互相移动。因为如果你从左边移x张到右边,你必然还会从右边移x张回来,属于多余操作。

这样两边其实可以看成两个完全独立的子问题。


根据上面的规则,可以先将一个大问题分为多个不可再分割的子问题。


到这里我们已经成功向前推进了一步,接下来思考每个子区间的情况。


04
子问题分析

4.1
不可再分性

对于一个不可再分割的子区间,从任意位置切一刀,都无法再分割。


也就是任意位置切一刀,一定是一边均摊后小于平均数,另一边均摊后大于平均数。


现在我们要想办法让它能继续分割,即通过移动使得两边变成刚好够分。

如果不考虑移动次数肯定可以做到,那能否通过一次移动使子区间可以分割开呢?

4.2
均摊后大于平均数(充分性)

从左开始扫描每一堆纸牌,如果大于平均数,就把多余的移到右边相邻的堆上。这样左右两边都是刚好够分的情况,即通过一次移动就把该区间分割成两个更小的子区间。


4.3
均摊后小于平均数(充分性)

从左开始扫描每一堆纸牌,如果小于平均数,就继续向右扫描,这时判断整个左区间是否够分,直到扫描到

区间[1,i+1]均摊后大于平均数(只有扫到末尾才可能刚好等于平均数),这时只需从上移动区间[1,i]还缺少的x个到上,使得区间[1,i]刚好够分,这样一次移动也能把区间分割成两个更小的子区间。


4.4
X堆最少移动X-1次(必要性)
通过一次移动可将区间一分为二,对于一个有X堆纸牌的子区间,一定能通过X-1次将它分割为全部均等的X堆。那最少一定要X-1次吗,还能否更少?

不论在哪个位置移动,每移动一次,只会改变相邻的两堆纸牌的数量,所以只能影响左右两个区间是否可分割。
即移动一次最多一分为二,不可能一分为三,那么有X堆的子区间最少也得移动X-1次。



05
算法及实现

5.1
算法思想
分析到这里问题的本质规律已经找出来了,先将整个区间分割开,然后对于每一个不可再分割的子区间,设有X堆纸牌,按上述方法移动X-1次可使得每堆都相等。
我们不需要真正去移动,只需要求出最少的次数。所以如果初始区间可以分割为Y个子区间,那么整个区间最少移动就是N-Y次。

5.2
代码实现
int main() {
    int n, a[100], sum = 0, interval = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    int avg = sum / n, last = -1;
    sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        sum += a[i];
        if (sum == (i - last) * avg) {
            interval++;
            sum = 0;
            last = i;
        }
    }
    cout << n - interval << endl;
    return 0;
}


06
总结
估计最后给大家的感觉就是:编码一分钟,思考两小时,哈哈。
实现代码非常简单,但思考过程并不简单,需要找出问题的本质规律,要证明算法的正确性,这个还是有一些思考量在里面的。大家跟着小K的思路多思考,勤用脑,总有一天你会感叹:原来都是套路啊,哈哈。

本文原创作者:小K,一个思维独特的写手。
文章首发平台:微信公众号【小K算法】。

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